Question

已知函數(shù)f（x）及其導數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個“巧值點”，下列函數(shù)中，有“巧值點”的函數(shù)個數(shù)是

 

（只填數(shù)字）
①f（x）=x²
②f（x）=e^-x
③f（x）=lnx
④f（x）=x+

1

x

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：分別求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件f（x₀）=f′（x₀），確實是否有解即可．

解答： 解：①若f（x）=x²；則f′（x）=2x，
由x²=2x，得x=0或x=2，這個方程顯然有解，故①符合要求；
②若f（x）=e^-x；則f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程無解，②不符合要求；
③若f（x）=lnx，則f′（x）=

1

x

，
由ln x=

1

x

，數(shù)形結(jié)合可知該方程存在實數(shù)解，符合要求；
④若f（x）=

1

x

中，f′（x）=-

1

x2

，由-

1

x2

=

1

x

，可得x=-1為該方程的解，故④符合要求．
故①③④正確，
故答案為：3

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，以及函數(shù)的方程的判斷，考查學生的運算能力．