Question

16．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，且邊a，b，c成等比數(shù)列．則sinA•sinC的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由條件得b²=ac，代入余弦定理得出a，c的關(guān)系，于是得出△ABC為等邊三角形．

解答 解：∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=2ac．
∴（a-c）²=a²+c²-2ac=0，
∴a=c，又B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等邊三角形，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
∴sinA•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．