Question

【題目】關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)根．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：方程的3個(gè)實(shí)根之和大于2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）方程有3個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于方程有3個(gè)不等實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，t的范圍介于極小值與極大值之間；（2）設(shè)的三個(gè)根分別為，且，數(shù)形結(jié)合知，通過構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性證明，再利用的單調(diào)性可得，即可證明3個(gè)根之和大于2.

（1）方程有3個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于方程有3個(gè)不等實(shí)根，

考慮函數(shù)，，，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，，這表明當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在上的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，．

可知當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立，

則對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，，并且時(shí)，．

這表明，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，

為極小值，為極大值．

若與有3個(gè)交點(diǎn)，則．

（2）設(shè)的三個(gè)根分別為，且，易知．

設(shè)，．

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，．

所以，故，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以．