Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（x∈R，a≠0）．
（1）若a=-1，c=0，且y=f（x）在[-2，4]上的最大值為g（b），求g（b）；
（2）若a＞0，函數(shù)f（x）在[-10，-2]上不單調(diào)，且f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1，c=0時(shí)的f（x）解析式，配方求出對(duì)稱(chēng)軸，討論區(qū)間[-2，4]與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最大值g（b）；
（Ⅱ）由圖象與x軸相切，可得判別式為0，由f（x）在[-10，-2]上不單調(diào)，可得對(duì)稱(chēng)軸介于-8和-2之間，再對(duì)所求式子整理變形，令t=$\frac{a}$∈[2，10]，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值12．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，c=0時(shí)，f（x）=-x²+2bx=-（x-b）²+b²，
∴對(duì)稱(chēng)軸是直線x=b，
①b＜-2時(shí)，[-2，4]為減區(qū)間，即有f（x）_max=f（-2）=-4-4b；
②當(dāng)-2≤b≤4時(shí)，即有f（x）max=f（b）=b²；
③當(dāng)b＞4時(shí)，[-2，4]為增區(qū)間，即有f（x）_max=f（4）=-16+8b．
綜上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-4-4b，（b＜-2）}\\{^{2}，（-2≤b≤4）}\\{-16+8b，（b＞3）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴△=0即為4b²-4ac=0即為 $\frac{c}{a}$=（$\frac{a}$）²，
∵f（x）在[-10，-2]上不單調(diào)，
∴對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{a}$∈（-10，-2），
∴$\frac{a}$∈（2，10），
即有 $\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{a+2b+c}{b-2a}$=$\frac{1+\frac{2b}{a}{+（\frac{a}）}^{2}}{\frac{a}-2}$，
設(shè)$\frac{a}$=t∈（2，10）⇒t-2∈（0，8），
即有 $\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{1+2t{+t}^{2}}{t-2}$=（t-2）+$\frac{9}{t-2}$+6
≥2$\sqrt{（t-2）•（\frac{9}{t-2}）}$+6=12．
∴$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值為12，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)t-2=3∈（0，8）⇒t=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值求法，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意分類(lèi)討論的思想方法的運(yùn)用和基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．