Question

5．已知傾斜角為60°的直線l過點（0，-2$\sqrt{3}$）和橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；  
（Ⅱ）若已知點D（3，0），點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DN}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線的斜率公式，求得直線l的方程，可得橢圓的焦點，再由離心率公式，可得a，b，進而得到橢圓方程；
（II）設(shè)直線MN的方程為x=ay+3，代入橢圓方程，運用判別式大于0，韋達定理，由向量的共線的坐標表示，得到λ的不等式，解得即可得到所求范圍．

解答 解：（I）∵直線l的傾斜角為60°
∴直線l的斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$，
又∵直線l過點（0，-2$\sqrt{3}$），
∴直線l的方程為y=$\sqrt{3}x$-2$\sqrt{3}$，
∵a＞b，∴橢圓的焦點為直線l與x軸的交點，
∴橢圓的焦點為（2，0），
∴c=2，又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴a=$\sqrt{6}$，∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（II）設(shè)直線MN的方程為x=ay+3，
代入橢圓方程可得，（m²+3）y²+6my+3=0，
設(shè)M，N坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3+{m}^{2}}$ ①y₁y₂=$\frac{3}{3+{m}^{2}}$ ②，
△=36m²-12（m²+3）=24m²-36＞0，
∴m²＞$\frac{3}{2}$，
∵$\overrightarrow{DM}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{DN}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，
顯然λ＞0，且λ≠1，
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），
∴y₁=λy₂，
代入①②，得
λ+$\frac{1}{λ}$=$\frac{12{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$-2=10-$\frac{36}{{m}^{2}+3}$，
∵m²＞$\frac{3}{2}$，
得2＜λ+$\frac{1}{λ}$＜10，
即$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-2λ+1＞0}\\{{λ}^{2}-10λ+1＜0}\end{array}\right.$，
解得5-2$\sqrt{6}$＜λ＜5+2$\sqrt{6}$且λ≠1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，同時考查直線的斜率和方程的運用，考查向量共線的坐標表示，屬于中檔題．