Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-{x}^{2}，x＞0}\\{ax{e}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0．
（1）求曲線g（x）=f（x）+lnx在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；
（2）若f（x）+f（a）≥0對(duì)x∈（-∞，0]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（1），g（1），求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為即a²-a≥-xe^x對(duì)x∈（-∞，0]恒成立，令h（x）=-xe^x，x∈（-∞，0]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+lnx=x³-x²+lnx，（x＞0），
g′（x）=3x²-2x+$\frac{1}{x}$，g′（1）=2，g（1）=0，
∴切線方程是：y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-{x}^{2}，x＞0}\\{ax{e}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0，
∴若f（x）+f（a）≥0對(duì)x∈（-∞，0]恒成立，
即xe^x+a²-a≥0對(duì)x∈（-∞，0]恒成立，
即a²-a≥-xe^x對(duì)x∈（-∞，0]恒成立，
令h（x）=-xe^x，x∈（-∞，0]，
h′（x）=-e^x（x+1），
令h′（x）＞0，解得：x＜-1，令h′（x）＜0，解得：-1＜x≤0，
∴h（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0]遞減，
∴h（x）_max=h（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴a²-a≥$\frac{1}{e}$，
解得：a≥$\frac{1}{2}$（1+$\frac{\sqrt{e（4+e）}}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．