Question

11．如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2，割線PCD交圓O于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F．
（Ⅰ） 當(dāng)∠PEC=60°時(shí)，求∠PDF的度數(shù)；
（Ⅱ） 求PE•PF的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC，依題意知，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC，繼而可得∠CBA=∠PEC，又∠PEC=60°，于是可得∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；
（Ⅱ） 解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，利用D、C、E、F四點(diǎn)共圓PE•PF=PC•PD，及割線定理可得PC•PD=PB•PA=24，于是可得答案；
解法2：由∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF可得△PEC～△PDF，從而可得PE•PF=PC•PD，再結(jié)合PC、PA都是圓O的割線，得到PC•PD=PB•PA=24，從而可求得PE•PF的值．

解答 解：（Ⅰ） 連結(jié)BC，∵AB是圓O的直徑，∴則∠ACB=90°，-----（1分）
又∠APF=90°，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC--------------（2分）
∴∠CBA=∠PEC，--------------------------------------（3分）
∵∠PEC=60°∴∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；-------------（4分）
（Ⅱ） 解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，
∴D、C、E、F四點(diǎn)共圓，---------------------------------（6分）
∴PE•PF=PC•PD，-----------------------------------------------------------（7分）
∵PC、PA都是圓O的割線，∴PC•PD=PB•PA=24，------------------------------（9分）
∴PE•PF=24．----------------------------------------------------------------（10分）
解法2：∵∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF，-----------------------------------（6分）
∴△PEC～△PDF-------------------------------------------------------------（7分）
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{PC}{PF}$即PE•PF=PC•PD，-----------------------------------------------（8分）
∵PC、PA都是圓O的割線，∴PC•PD=PB•PA=24--------------------------------（9分）
∴PE•PF=24．---------------------------------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的線段的求法，考查相似三角形與割線定理的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．