Question

20．已知長方形ABCD中，AB=3，AD=4，現(xiàn)將長方形沿對(duì)角線BD折起，使AC=a，得到一個(gè)四面體A-BCD，如圖所示．
（1）試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應(yīng)的a值；若不能，請(qǐng)說明理由．
（2）求四面體A-BCD體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用AB⊥平面ACD，結(jié)結(jié)合勾股定理，即可得出結(jié)論；
（2）將矩形折疊后得到三棱錐，四面體ABCD體積最大值為兩個(gè)面互相垂直求三棱錐的底面積和高計(jì)算．

解答 解：（1）直線AB與CD能垂直．
∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD，
∴AB⊥AC，
此時(shí)a=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴a=$\sqrt{7}$時(shí)，直線AB與CD能垂直；
（2）由題意可得，△BCD面積$\frac{1}{2}×3×4$=6為定值，當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大，即當(dāng)平面CBD⊥平面ABD時(shí)，四面體A-BCD體積最大．
過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD，垂足為H，則AH⊥平面BCD，AH就是該四面體的高．
在△ABD中，AH=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{12}{5}$，
∴四面體A-BCD體積的體積最大值為$\frac{1}{3}$•S_△BCD•AH=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面與立體幾何的關(guān)系，平面圖形的折疊問題，考查了三棱錐中線線關(guān)系，以及三棱錐的體積最大值，較綜合，屬于中檔題．