Question

19．一條漸近線(xiàn)方程為$y=\frac{1}{2}x$且過(guò)點(diǎn)（4，1）的雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由漸近線(xiàn)方程為$y=\frac{1}{2}x$，可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)（4，1），解方程即可得到所求雙曲線(xiàn)的方程．

解答 解：由一條漸近線(xiàn)方程為$y=\frac{1}{2}x$，
可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)（4，1），可得λ=1-$\frac{1}{4}$×16=-3，
即有雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=-3，
即為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．