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12.函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}}$)在同一個周期內,當x=$\frac{π}{4}$時y取最大值1,當x=$\frac{7π}{12}$時,y取最小值-1.
(1)求函數的解析式y(tǒng)=f(x).
(2)將函數y=f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{2}$個單位,再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,求經以上變換后得到的函數解析式g(x).
(3)若函數f(x)滿足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]內的所有實數根之和.

分析 (1)由函數y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,由周期求出ω,根據特殊點的坐標求得φ的值,可得函數的解析式.
(2)由條件利用y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式.
(3)根據正弦函數的周期性以及圖象的對稱性,求得方程f(x)=a在[0,2π]內的所有實數根之和.

解答 解:(1)∵$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$,∴ω=3,
又因sin($\frac{3π}{4}$+φ)=1,∴$\frac{3π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,再結合,|φ|<$\frac{π}{2}}$,
可得φ=-$\frac{π}{4}$,∴函數 f(x)=sin(3x-$\frac{π}{4}$).
(2)將函數y=f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{2}$個單位,可得y=sin[3(x+$\frac{π}{2}$)-$\frac{π}{4}$]=sin(3x+$\frac{5π}{4}$)的圖象;
再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,
經以上變換后得到的函數解析式g(x)=sin($\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$).
(3)∵f(x)=sin(3x-$\frac{π}{4}$)的周期為$\frac{2π}{3}$,
∴f(x)=sin(3x-$\frac{π}{4}$)在[0,2π]內恰有3個周期,
∴sin(3x-$\frac{π}{4}$)=a (0<a<1)在[0,2π]內有6個實根且x1+x2=$\frac{π}{2}$,
同理,x3+x4=$\frac{11π}{6}$,x5+x6=$\frac{19π}{6}$,
故所有實數之和為 $\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$=$\frac{11π}{2}$.

點評 本題主要考查由函數y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,利用了y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數的圖象的對稱性,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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年份x12345
收入y(千元)2124272931
其中$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=421,$\sum_{i=1}^{5}$xi2=55
附1:$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overrightarrow{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$
(Ⅱ)下表是從調查某行業(yè)個人平均收入與接受專業(yè)培訓時間關系得到2×2列聯(lián)表:
受培時間一年以上受培時間不足一年
收入不低于平均值6020
收入低于平均值1010
100
完成上表,并回答:是否有95%以上的把握認為“收入與接受培訓時間有關系”.
附2:
P(K2≥k00.500.400.100.050.010.005
k00.4550.7082.7063.8416.6357.879
附3:
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.(n=a+b+c+d)

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