Question

2．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）是偶函數(shù)，且滿足：y=log_m（x-1）的圖象過定點(diǎn)（c，0），方程f（x）=2x兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，將函數(shù)f（x）向右平移1個(gè)單位；向下平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位，得到g（x）的圖象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）試問：是否存在實(shí)數(shù)m、n，使函數(shù)g（x）在區(qū)間[n，n+2]上是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閇m．m+2]？若存在，求出實(shí)數(shù)m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，分別求出a，b，c值，可得f（x）的解析式，再由函數(shù)圖象的平移變換法則，可得g（x）的解析式；
（2）由函數(shù)g（x）在區(qū)間[n，n+2]上是單調(diào)函數(shù)，可得區(qū)間對(duì)函數(shù)圖象對(duì)稱軸的一側(cè)，分類討論滿足條件的m，n值，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即ax²-bx+c=ax²+bx+c恒成立，
故b=0，
當(dāng)x=2時(shí)，log_m（x-1）=0恒成立，
故y=log_m（x-1）的圖象過定點(diǎn)（2，0），
即c=2，
∵方程f（x）=2x兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴ax²+2=2x的△=4-8a=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2，
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移1個(gè)單位；向下平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位，
可得：g（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$x²-x+1的圖象，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+1；
（2）∵g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n+2≤1，即n≤-1時(shí)，g（x）在[n，n+2]上單調(diào)遞減，
則$\left\{\begin{array}{l}g（n）=m+2\\ g（n+2）=m\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{n}^{2}-n+1=m+2\\ \frac{1}{2}{（n+2）}^{2}-（n+2）+1=m\end{array}\right.$，
兩式相減得：2n+2=0，即n=-1； 此時(shí)m=$\frac{1}{2}$
當(dāng)n≥1時(shí)，g（x）在[n，n+2]上單調(diào)遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}g（n）=m\\ g（n+2）=m+2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{n}^{2}-n+1=m\\ \frac{1}{2}{（n+2）}^{2}-（n+2）+1=m+2\end{array}\right.$，
兩式相減得：2n-2=0，即n=1； 此時(shí)m=$\frac{1}{2}$
綜上所述：存在n=±1，m=$\frac{1}{2}$滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．