Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ（n∈N*），則n≥2時(shí)，a₁²+a₂²+…+a_n²=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$
• B． $\frac{1}{3}（{4^n}+8）$
• C． $\frac{1}{3}{（{2^n}-1）^2}$
• D． $\frac{1}{3}{（{2^n}+4）^2}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ（n∈N*），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1¹，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ（n∈N*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}^{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
則n≥2時(shí)，a₁²+a₂²+…+${a}_{n}^{2}$=4+4×$\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}+8）$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．