Question

17．已知四面體的一條棱長為6，其余棱長均為5，則這個四面體的外接球的半徑是$\frac{20}{39}\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 由題意畫出幾何體的圖形，推出四面體的外接球的球心的位置，求出球的半徑即可．

解答 解：由題意畫出幾何體的圖形，BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
取AD的中點E，則OE⊥AD，球的球心在AD的中點E與O的連線上，
設球心為G，
∵OA=OD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，AD=6，
∴OE=$\sqrt{\frac{75}{4}-9}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$
設球的半徑為R，GE=x，則R²=9+x²=2.5²+（$\frac{\sqrt{39}}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{7}{\sqrt{39}}$，R=$\frac{20}{39}\sqrt{39}$
故此四面體的外接球的半徑為$\frac{20}{39}\sqrt{39}$．
故答案為：$\frac{20}{39}\sqrt{39}$．

點評 考查四面體的外接球的半徑的求法，考查空間想象能力，能夠判斷球心的位置是本題解答的關鍵，考查計算能力，轉化思想．