Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心為O，左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線上的一點(diǎn)$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PF}$=0且4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=3${\overrightarrow{OF}^2}$，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 通過向量的垂直，向量的數(shù)量積得到∠FOP=30°，設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為D，則在△POD中，利用余弦定理以及雙曲線的定義，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{PF}=0$，∴$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PF}$，
∴4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OF}$＞=4|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OF}$|•$\frac{|OP|}{|OF|}$=4|OP|²=3${\overrightarrow{OF}^2}$=3c²，
則|OP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c，
則cos∠FOP=$\frac{|OP|}{|OF|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠FOP=30°，
則|PF|=$\frac{1}{2}$c
設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為D，則在△POD中，
由余弦定理可得|PD|²=|OP|²+|OD|²-2|OP||OD|cos150°=$\frac{3}{4}$c²+c²+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ c•c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13}{4}$c²，
則|PD|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$c，
∵|PF|=$\frac{1}{2}$c，
∴由雙曲線定義得|PD|-|PF|=2a，
即$\frac{\sqrt{13}}{2}$c-$\frac{1}{2}$c=2a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{\sqrt{13}-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{13-1}$=$\frac{4（\sqrt{13}+1）}{12}$=$\frac{{\sqrt{13}+1}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)向量垂直以及余弦定理結(jié)合雙曲線的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．