Question

17．已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=AC=$\frac{1}{2}$AD=1，且∠ABC=90°，以AC為折痕使得折疊后的圖形中平面DAC⊥平面ABC．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）求四面體ABCD的外接球的體積；
（3）在棱AB上是否存在點(diǎn)P，使得直線CP與平面ABD所成的角為45°？若存在，請求出線段PB的長度，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)E，連CE，證明DC⊥AC，即可證明DC⊥平面ABC；
（2）確定四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點(diǎn)E，即可求四面體ABCD的外接球的體積；
（3）以B為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABD的法向量，利用直線CP與平面ABD所成的角為45°，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連CE，由條件可知四邊形ABCE是正方形，
三角形CED是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+45°=90°
即DC⊥AC…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC…（4分）
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB
又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面DBC，∴AB⊥DB，
即∠ABD=∠ACD=90°，
∴四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點(diǎn)E…（6分）
即四面體ABCD的外接球的半徑R=1，故四面體ABCD的外接球的體積為$\frac{4π}{3}$…（…（8分）
（3）解：以B為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0），C（1，0，0），D（1，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，則$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）…（10分）
設(shè)P（0，t，0）（t＞0），則$\overrightarrow{CP}$=（-1，t，0），
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{{t}^{2}+1}}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故存在點(diǎn)P，使得直線CP與平面ABD所成的角為45，且PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查四面體ABCD的外接球的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．