Question

2．如圖，已知三棱柱ABC-ABC側(cè)棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°點M，N分別為A′B和B′C′的中點．
（1）證明：MN∥平面AA′C′C；
（2）設(shè)AB=λAA′，當(dāng)λ為何值時，CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A′B′的中點為E，連接EM，EN，利用三角形的中位線，得出線線平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到線面平行
（2）連接BN，設(shè)AA′=a，AB=λAA′=λa，即可得到BC，BN，CN，要得到CN⊥平面A′MN，只需利用線面垂直的判定定理，即可得到關(guān)于λ的方程，解之即得答案．

解答 解：（1）證明：設(shè)A′B′的中點為E，連接EM，EN，
∵點M，N分別為A′B和B′C′的中點，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME=E，
∴面EMN∥面ACC′A′，
∵MN?面EMN，
∴MN∥面ACC′A′； 
（2）連接BN，設(shè)AA′=a，AB=λAA′=λa，
由題意知，BC=$\sqrt{2}λa$，BN=CN=$\sqrt{C′{C}^{2}+C′{N}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{λ}^{2}{a}^{2}}$，
∵三棱柱ABC-A′B′C′側(cè)棱垂直于底面，
∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，
∵AB=AC，∠BAC=90°點N為B′C′的中點，
∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
∴CN²+BN²=BC²，即$2（{a}^{2}+\frac{1}{2}{λ}^{2}{a}^{2}）=2{λ}^{2}{a}^{2}$，∴$λ=\sqrt{2}$，
則$λ=\sqrt{2}$時，CN⊥平面A′MN．

點評 本題考查了平行和垂直兩種重要的關(guān)系，用線面垂直的定理和定義實現(xiàn)線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化；
一般來說，有中點時再取其它邊得中點作輔助線，利用中位線得線線平行，由線面平行的判定定理得線面平行．