Question

17．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R都有f（x+2）=f（2-x）+4f（2），若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，且f（1）=3，則f（2015）=-3．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（-1，0）對(duì)稱且由y=f（x+1）向右平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，在已知條件中令x=-1可求f（1）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（-1，0）對(duì)稱且把y=f（x+1）向右平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（1）=3，
∵f（x+2）=f（2-x）+4f（2）=-f（x-2）+4f（2），
∴f（x+4）=-f（x）+4f（2），
f（x+8）=-f（x+4）+4f（2）=f（x），
函數(shù)的周期為8，
f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=-f（1）=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性對(duì)稱性、圖象變換、求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．