Question

已知圓C1的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+

π

3

）．
（1）將圓C₁的參數(shù)方程化為普通方程，將圓C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C₁，C₂是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦長(zhǎng)，若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（2）由圓C₁與圓C₂的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系，判斷兩圓相交．求出公共弦方程，即可求出公共弦長(zhǎng)．

解答： 解：（1）∵C₁的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），
∴消去參數(shù)φ，得x²+y²=4，
由ρ=4sin（θ+

π

3

）得ρ²=4ρ（sinθcos

π

3

+cosθsin

π

3

），
即x²+y²=2y+2

3

x，整理得（x-

3

）²+（y-1）²=4．…（5分）
（2）圓C₁表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，圓C₂表示圓心為（

3

，1），半徑為2的圓，
又圓C₂的圓心（

3

，1）在圓C₁上，由幾何性質(zhì)可知，兩圓相交．
兩圓方程相減可得公共弦方程為

3

x+y-2=0，
圓心（0，0）到直線(xiàn)的距離為

2

3+1

=1，
∴公共弦長(zhǎng)為2

4-1

=2

3

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)系與參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)先把參數(shù)方程與極坐標(biāo)化為普通方程，再解答問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．