Question

14．已知點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M（0，2）的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PM|≥|MF|，再求出|MF|的值即可．

解答 解：依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P′，拋物線的焦點(diǎn)為F，
則F（$\frac{1}{2}$，0），
依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP′|=|PF|，
則點(diǎn)P到點(diǎn)M（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|=$\sqrt{\frac{1}{4}+4}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
即有當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義解題，考查了拋物線的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．