Question

9．已知三個(gè)點(diǎn)A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（Ⅰ）求證：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（Ⅱ）要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用平面向量的數(shù)量積得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，求解即可．
（II）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$．$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$，坐標(biāo)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．再運(yùn)用數(shù)量積求解得出cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$＞0．

解答 解（Ⅰ）證明：A（2，1），B（3，2），D（-1，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AD}$=（-3，3）．
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$，若四邊形ABCD為矩形，則$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$．
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則有（1，1）=（x+1，y-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1=1}\\{y-4=1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=5}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．
由于$\overrightarrow{AC}$=（-2，4），$\overrightarrow{BD}$=（-4，2），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（-2）×（-4）+4×2=16，$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{5}$．
設(shè)對(duì)角線AC與BD的夾角為θ，則cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$＞0．
故矩形ABCD兩條對(duì)角線所夾銳角的余弦值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用向量解決平面直線的位置關(guān)系，平面幾何中的邊長(zhǎng)，夾角問題，準(zhǔn)確計(jì)算化簡(jiǎn)，屬于中檔題．