Question

7．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=3x-1，x∈{1，3，5，7}；
（2）y=-x²+2x+1，x∈R；
（3）y=x+$\sqrt{1-2x}$；
（4）y=$\frac{3x+1}{x-2}$．

Answer 1

分析 （1）直接把x的值代入函數(shù)解析式求得函數(shù)值域；
（2）利用配方法求函數(shù)的值域；
（3）令$\sqrt{1-2x}=t（t≥0）$換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)求解；
（4）把已知的函數(shù)解析式變形，然后利用分離常數(shù)法求解．

解答 解：（1）∵y=3x-1，x∈{1，3，5，7}，∴y∈{2，8，14，20}；
（2）∵y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2≤2，∴函數(shù)y=-x²+2x+1，x∈R的值域?yàn)椋?∞，2]；
（3）令$\sqrt{1-2x}=t（t≥0）$，則1-2x=t²，x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴原函數(shù)化為f（t）=$-\frac{{t}^{2}}{2}+t+\frac{1}{2}$（t≥0），對稱軸方程為t=1，
∴當(dāng)t=1時，函數(shù)有最大值為1，故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，1]；
（4）y=$\frac{3x+1}{x-2}$=$\frac{3（x-2）+7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}$，
∵$\frac{7}{x-2}≠0$，∴$3+\frac{7}{x-2}≠3$，則函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域，訓(xùn)練了換元法和分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，是中檔題．