Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（1，4），曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²求導(dǎo)f′（x）=3ax²+2bx，從而得到f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=9；從而求解．
（2）由導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，f′（x）=3ax²+2bx，
∴f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=-

1

- 1 9

=9；
解得，a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）；
故函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，3]上單調(diào)遞增，
而f（-1）=-1+3=2，
f（0）=0，
f（3）=27+27=54；
故函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為54，最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．