Question

【題目】拋物線的準線與軸交于點，過點作直線交拋物線于，兩點.

（1）求直線的斜率的取值范圍；

（2）若線段的垂直平分線交軸于，求證：；

（3）若直線的斜率依次為，，，…，，…，線段的垂直平分線與軸的交點依次為，，，…，，…，求.

Answer 1

【答案】（1）k∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）見解析（3）

【解析】

（1）求得拋物線的準線方程，可得M的坐標和直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用判別式大于0，即可得到所求范圍；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），運用韋達定理和中點坐標公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得AB的垂直平分線方程，可令y＝0，求得x，即可得證；

（3）設(shè)Nm（xm，0），求得，所以，由等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

（1）拋物線y2＝2x的準線為x，

，設(shè)l：，

聯(lián)立直線與拋物線的方程：（*）．

因為l交拋物線于兩點，所以k≠0且二次方程（*）根的判別式△＞0，

即（k2﹣2）2﹣k4＞0，

解得k∈（﹣1，0）∪（0，1）；

（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達定理可得，，

所以AB中點的坐標為，

所以AB中垂線方程為，

令y＝0，可得．

（3）設(shè)Nm（xm，0），由直線l的斜率依次為，

可得xm，

則，

所以，

（）

，

所以．