Question

8．已知圓C的圓心為點C（0，3），點R（$\sqrt{3}$，2）在圓C上，直線l過點A（-1，0）且與圓C相交P，Q兩點，點M是線段PQ的中點．
（1）求圓C的方程：
（2）若$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩點間距離公式可求出圓C的半徑，進而可得結(jié)論；
（2）通過設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），利用△ACM為直角三角形，化簡可知${\overrightarrow{AM}}^{2}$=9，進而利用點到直線的距離公式及勾股定理計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵圓C的圈心為點C（0，3），點R（$\sqrt{3}$，2）在圓C上，
∴圓C的半徑r=|CR|=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（2-3）^{2}}$=2，
∴圓C的方程為：x²+（y-3）²=4；
（2）依題意，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），
∵點M是線段PQ的中點，
∴CM⊥PQ，且△ACM為直角三角形，
又∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}$•（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{MC}$）=${\overrightarrow{AM}}^{2}$=9，
∴AM=3，
∵CM=$\frac{|0-3+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，AC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AC²=CM²+AM²，即10=$\frac{（3-k）^{2}}{1+{k}^{2}}$+9，
解得：k=$\frac{4}{3}$，
從而直線l的方程為y=$\frac{4}{3}$（x+1）．

點評 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合能力，涉及點到直線的距離公式、兩點間距離公式、勾股定理等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．