Question

3．如圖，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過F作斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，且|OB|=2|OA|，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的左焦點(diǎn)為F（-c，0），
過F作斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，
則直線方程為：y=x+c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{ac}{b-a}}\\{y=\frac{bc}{b-a}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{ac}{b-a}$，$\frac{bc}{b-a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$得A（-$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
∵|OB|=2|OA|，
∴|OB|²=4|OA|²，
即（$\frac{ac}{b-a}$）²+（$\frac{bc}{b-a}$）²=4[（-$\frac{ac}{a+b}$）²+（$\frac{bc}{a+b}$）²]，
整理得4（b-a）²=（a+b）²，
即3a²-10ab+3b²=0，
即（a-3b）（3a-b）=0，
得a=3b，或b=3a，
∵B在第一象限，∴$\frac{ac}{b-a}$＞0，$\frac{bc}{b-a}$＞0，
則b＞a，即a=3b不成立，
則b=3a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{10}$，

故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．