Question

在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且三角形的面積為S=

3

2

accosB．
（1）求角B的大小
（2）若

c

a

+

a

c

=4，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）在三角形ABC中，由條件可得S=

1

2

acsinB=

3

2

accosB，求得tanB的值，可得B的值．
（2）由

c

a

+

a

c

=4以及B=

π

3

，可得b²=ac，由正弦定理可得 sin²B=3sinAsinC，求出sinAsinC的值．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式把要求的式子化為

3

2sinAsinC

，從而求得結(jié)果．

解答： 解：（1）在三角形ABC中，∵S=

1

2

acsinB，由已知S=

3

2

accosB，可得

1

2

acsinB=

3

2

accosB，∴tanB=

3

，
再由0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（2）∵

c

a

+

a

c

=

a2+c2

ac

=

b2+2accosB

ac

=4，又∵B=

π

3

∴b2=3ac，由正弦定理可得 sin²B=3sinAsinC．
∵B=

π

3

∴sinAsinC=

1

4

，∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

3

2sinAsinC

=2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．