Question

10．過(guò)點(diǎn)P（3，4）的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線方程為x=3或3x-4y+7=0或3x+4y-25=0．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)與圖形可得過(guò)點(diǎn)P（3，4）與雙曲線公有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

解答 解：由題意可得：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為：y=±$\frac{4}{3}$x，
①直線x=3與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②過(guò)點(diǎn)P（3，4）平行于漸近線y=±$\frac{4}{3}$x時(shí)，直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，方程為y-4=±$\frac{4}{3}$（x-3），
即4x-3y+7=0或4x+3y-25=0；
③P在雙曲線的漸近線上，所以沒(méi)有切線方程．
故直線l的方程為x=3或4x-3y+7=0或4x+3y-25=0．
故答案為：x=3或3x-4y+7=0或3x+4y-25=0．

點(diǎn)評(píng) 本題以雙曲線為載體，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì)．