【題目】已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點構(gòu)成的四邊形是一個正方形,且其周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)由題意列出方程組求出, ,由此能求出橢圓的方程.(Ⅱ)當直線的斜率不存在時, 的方程為, ,點B在橢圓內(nèi),由,得,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、由此能求出的取值范圍.
試題解析:(I)解:由題意,得: 又因為
解得,所以橢圓C的方程為.
(II)當直線的斜率不存在時,由題意知的方程為x=0,
此時E,F為橢圓的上下頂點,且,
因為點總在以線段為直徑的圓內(nèi),且,
所以,故點B在橢圓內(nèi).
當直線的斜率存在時,設(shè)的方程為.
由方程組得,
因為點B在橢圓內(nèi),
所以直線與橢圓C有兩個公共點,即.
設(shè),則.
設(shè)EF的中點,則,
所以.所以,
,
因為點D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi),所以對于恒成立.
所以.
化簡,得,整理,得,
而(當且僅當k=0時等號成立)所以,
由m>0,得.綜上,m的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)根據(jù)供銷合同生產(chǎn)某種型號零件10萬件,規(guī)定:零件長度(單位:毫米)在區(qū)間內(nèi),則為一等品;若長度在或內(nèi),則為二等品;否則為不合格產(chǎn)品.現(xiàn)從生產(chǎn)出的零件中隨機抽取100件作樣本,其長度數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)試估計該樣本的平均數(shù);
(2)根據(jù)合同,企業(yè)生產(chǎn)的每件一等品可獲利10元,每件二等品可獲利8元,每件不合格產(chǎn)品虧損6元,若用樣本估計總體,試估算該企業(yè)生產(chǎn)這批零件所獲得的利潤.
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【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和.
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【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求證:對于任意t∈R,方程f(x)=1必有實數(shù)根;
(2)若<t<,求證:方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個實數(shù)根.
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【題目】在印度有一個古老的傳說:舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人——宰相宰相西薩班達依爾.國王問他想要什么,他對國王說:“陛下,請您在這張棋盤的第1個小格里,賞給我1粒麥子,在第2個小格里給2粒,第3小格給4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍.請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒,都賞給您的仆人吧!”國王覺得這要求太容易滿足了,就命令給他這些麥粒.當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時,國王才發(fā)現(xiàn):就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來,也滿足不了那位宰相的要求.那么,宰相要求得到的麥粒到底有多少粒?下面是四位同學為了計算上面這個問題而設(shè)計的程序框圖,其中正確的是( )
A. B. C. D.
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【題目】秦九韶是我國南宋時代的數(shù)學家,其代表作《數(shù)書九章》是我國13世紀數(shù)學成就的代表之一,秦九韶利用其多項式算法,給出了求高次代數(shù)方程的完整算法,這一成就比西方同樣的算法早五六百年,如圖是該算法求函數(shù)f(x)=x3+x+1零點的程序框圖,若輸入x=﹣1,c=1,d=0.1,則輸出的x的值為( )
A.﹣0.6
B.﹣0.69
C.﹣0.7
D.﹣0.71
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【題目】如圖,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,CA=CB,A1B⊥AC1 .
(1)求證:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)若直線AA1與底面ABC所成的角為60°,求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和,且Sn = (an -1)(n∈N*), 數(shù)列{bn }的通項公式bn = 4n+5.
①求證:數(shù)列{an }是等比數(shù)列;
②若d∈{a1 ,a2 ,a3 ,……}∩{b1 ,b2 ,b3 ,……},則稱d為數(shù)列{an }和{bn }的公共項,按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列{dn },求數(shù)列{dn }的通項公式.
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