【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和.
【答案】解:(I)∵an2+2an=4Sn+3,
∴an+12+2an+1=4Sn+1+3,
兩式相減得:an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1 ,
整理得:an+12﹣an2=2(an+1+an),
又∵an>0,
∴an+1﹣an=2,
又∵a12+2a1=4a1+3,
∴a1=3或a1=﹣1(舍),
∴數(shù)列{an}是以3為首項、2為公差的等差數(shù)列,
∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;
(Ⅱ)由(I)可知an=2n+1,
∴bn= = = ( ﹣ ),
∴數(shù)列{bn}的前n項和為: ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ( ﹣ )
=
【解析】(I)通過an2+2an=4Sn+3與an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2,進而可知數(shù)列{an}是以3為首項、2為公差的等差數(shù)列,計算即得結論;(Ⅱ)通過(I)可知an=2n+1,裂項可知bn= ( ﹣ ),并項相加即得結論.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,掌握數(shù)列{aspan>n}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題.
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【題目】在△ABC所在的平面內,點P0、P滿足 = , ,且對于任意實數(shù)λ,恒有 ,則( )
A.∠ABC=90°
B.∠BAC=90°
C.AC=BC
D.AB=AC
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2﹣t)成立,則函數(shù)值f(﹣1),f(1),f(2),f(5)中,最小的一個不可能是( )
A.f(﹣1)
B.f(1)
C.f(2)
D.f(5)
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【題目】已知兩直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分別滿足下列條件的a,b的值.
(1)直線l1過點(-3,-1),并且直線l1與l2垂直;
(2)直線l1與直線l2平行,并且坐標原點到l1,l2的距離相等.
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【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程;
(2)若曲線C2的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),曲線C1上點P的極角為 ,Q為曲線C2上的動點,求PQ的中點M到直線l距離的最大值.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點構成的四邊形是一個正方形,且其周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過點的直線與橢圓相交于兩點,點關于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內,求的取值范圍.
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【題目】從裝有 2個紅球和 2個白球的口袋中任取 2個球,則下列每對事件中,互斥事件的對數(shù)是( )對
(1)“至少有 1個白球”與“都是白球” (2)“至少有 1個白球”與“至少有 1個紅球”
(3)“至少有 1個白球”與“恰有 2個白球” (4)“至少有 1個白球”與“都是紅球”
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】設函數(shù)f(x)=ex+ax2(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調,且y=f′(x)有零點,求a的值;
(2)若對x∈[0,+∞),有 ≥1,求a的取值范圍.
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