Question

13．設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2x}-2x，0＜x≤1}\\{{x}^{2}-2x-\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+a，則當實數(shù)a滿足2＜a＜$\frac{5}{2}$時，函數(shù)y=g（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當0＜x≤1時，f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2個零點；當x＞1時，令x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0可判斷函數(shù)y=g（x）有1個零點；從而確定零點的個數(shù)即可．

解答 解：①當0＜x≤1時，
f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x）；
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，f（x）≤-2；
f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，-$\frac{5}{2}$≤f（x）＜-2；
故當2＜a＜$\frac{5}{2}$時，g（x）=f（x）+a有2個零點；
②當x＞1時，令g（x）=f（x）+a=0得，
x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0，
△=4+4（$\frac{3}{2}$-a）=4（$\frac{5}{2}$-a）＞0；
故方程x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0有兩個不同的根；
而對稱軸為x=1；
故函數(shù)y=g（x）有1個零點；
綜上所述，函數(shù)y=g（x）的零點個數(shù)為3；
故選：C．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．