Question

17．小明參加某項資格測試，現(xiàn)有10道題，其中6道客觀題，4道主觀題，小明需從10道題中任取3道題作答
（1）求小明至少取到1道主觀題的概率
（2）若取的3道題中有2道客觀題，1道主觀題，設(shè)小明答對每道客觀題的概率都是$\frac{3}{5}$，答對每道主觀題的概率都是$\frac{4}{5}$，且各題答對與否相互獨立，設(shè)X表示小明答對題的個數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）確定事件A=“小明所取的3道題至少有1道主觀題”則有$\overline{A}$=“小明所取的3道題都是客觀題”利用對立事件求解即可．
（2）根據(jù)題意X的所有可能的取值為0，1，2，3．分別求解相應(yīng)的概率，求出分布列，運用數(shù)學(xué)期望公式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)事件A=“小明所取的3道題至少有1道主觀題”
則有$\overline{A}$=“小明所取的3道題都是客觀題”
因為P（$\overline{A}$）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=$\frac{5}{6}$．
（2）X的所有可能的取值為0，1，2，3．
P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）²$•\frac{1}{5}$=$\frac{4}{125}$．
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•（$\frac{3}{5}$）¹•（$\frac{2}{5}$）¹+（$\frac{2}{5}$）²$•\frac{4}{5}$=$\frac{28}{125}$．
P（X=2）=（$\frac{3}{5}$）²$•\frac{1}{5}$+${C}_{2}^{1}$•（$\frac{3}{5}$）¹•（$\frac{2}{5}$）¹$•\frac{4}{5}$=$\frac{57}{125}$，
P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）²$•\frac{4}{5}$=$\frac{36}{125}$
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

∴E（X）=0×$\frac{4}{125}$$+1×\frac{28}{125}$$+2×\frac{57}{125}$$+3×\frac{36}{125}$=2．

點評 本題綜合考查了離散型的概率分布問題，數(shù)學(xué)期望，需要直線閱讀題意，準(zhǔn)確求解概率，計算能力要求較高，屬于中檔題．