Question

1．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x≥0時(shí)，有0＜f（x）＜1，f（4）=$\frac{1}{16}$．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）＞0在R上恒成立；
（3）證明：f（x）在R上是減函數(shù)；
（4）若x＞0時(shí)，不等式f（x+ax）＞f（2+x²）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取特殊值的方法：令m=n=0，可得f（0）=1；
（2）設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1），根據(jù)定義形式得出當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，得出結(jié)論成立；
（3）利用定義法）?x₁＜x₂∈R，判斷f（x₂）-f（x₁）的正負(fù)；
（4）由（3）可整理不等式a＜$\frac{2}{x}$+x-1，只需求出右式的最小值即可．

解答 解：（1）令m=n=0，
∴f（0）=f（0）f（0），0＜f（0）＜1，
∴f（0）=1；
（2）設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
∴f（m+n）=f（m）f（n）=f（0）=1，
∴f（m）＞1，即當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1　…（4分）
故f（x）＞0在R上恒成立；
（3）?x₁＜x₂∈R，則x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上單調(diào)遞減．　　　
（4）f（x+ax）＞f（2+x²）恒成立，
∴x+ax＜2+x²恒成立，
∴a＜$\frac{2}{x}$+x-1，
令g（x）=$\frac{2}{x}$+x，知當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 考查了特殊值法求抽象函數(shù)問題，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解決不等式問題和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．