1.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足:對任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)•f(n),且當x≥0時,有0<f(x)<1,f(4)=$\frac{1}{16}$.
(1)求f(0)的值;
(2)證明:f(x)>0在R上恒成立;
(3)證明:f(x)在R上是減函數(shù);
(4)若x>0時,不等式f(x+ax)>f(2+x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)取特殊值的方法:令m=n=0,可得f(0)=1;
(2)設(shè)m=x<0,n=-x>0,f(-x)∈(0,1),根據(jù)定義形式得出當x<0時f(x)>1,得出結(jié)論成立;
(3)利用定義法)?x1<x2∈R,判斷f(x2)-f(x1)的正負;
(4)由(3)可整理不等式a<$\frac{2}{x}$+x-1,只需求出右式的最小值即可.

解答 解:(1)令m=n=0,
∴f(0)=f(0)f(0),0<f(0)<1,
∴f(0)=1;
(2)設(shè)m=x<0,n=-x>0,f(-x)∈(0,1)
∴f(m+n)=f(m)f(n)=f(0)=1,
∴f(m)>1,即當x<0時f(x)>1 …(4分)
故f(x)>0在R上恒成立;
(3)?x1<x2∈R,則x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0,
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1
=f(x2-x1)f(x1)-f(x1
=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0
∴f(x)在R 上單調(diào)遞減.   
(4)f(x+ax)>f(2+x2)恒成立,
∴x+ax<2+x2恒成立,
∴a<$\frac{2}{x}$+x-1,
令g(x)=$\frac{2}{x}$+x,知當x>0時,g(x)≥2$\sqrt{2}$,
∴a<2$\sqrt{2}$-1.

點評 考查了特殊值法求抽象函數(shù)問題,利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解決不等式問題和恒成立問題的轉(zhuǎn)換.

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