10.已知偶函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+d的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且在x=1處的切線方程是y=x-2,則y=f(x)的解析式為f(x)=$\frac{5}{2}$x4-$\frac{9}{2}$x2+1.

分析 由題意可得d=1,由偶函數(shù)的性質(zhì)可得b=0,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),由切線的方程可得a,c的方程,解方程可得a,c,進(jìn)而得到所求解析式.

解答 解:由f(x)=ax4+bx3+cx2+d的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),
可得f(0)=1,即d=1,
由f(x)=ax4+bx3+cx2+d為偶函數(shù),
可得b=0,
又f′(x)=4ax3+2cx,
即有在x=1處的切線斜率為4a+2c,
在x=1處的切線方程是y=x-2,
可得4a+2c=1,a+c+d=-1,
解得a=$\frac{5}{2}$,c=-$\frac{9}{2}$,
則f(x)=$\frac{5}{2}$x4-$\frac{9}{2}$x2+1.
故答案為:f(x)=$\frac{5}{2}$x4-$\frac{9}{2}$x2+1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率,考查函數(shù)的解析式的求法,注意運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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