Question

10．已知偶函數f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2，則y=f（x）的解析式為f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 由題意可得d=1，由偶函數的性質可得b=0，求得函數的導數，求得切線的斜率和切點，由切線的方程可得a，c的方程，解方程可得a，c，進而得到所求解析式．

解答 解：由f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d的圖象經過點（0，1），
可得f（0）=1，即d=1，
由f（x）=ax⁴+bx³+cx²+d為偶函數，
可得b=0，
又f′（x）=4ax³+2cx，
即有在x=1處的切線斜率為4a+2c，
在x=1處的切線方程是y=x-2，
可得4a+2c=1，a+c+d=-1，
解得a=$\frac{5}{2}$，c=-$\frac{9}{2}$，
則f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．
故答案為：f（x）=$\frac{5}{2}$x⁴-$\frac{9}{2}$x²+1．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查函數的解析式的求法，注意運用偶函數的性質和待定系數法，考查運算能力，屬于中檔題．