Question

【題目】已知函數(shù)在點M(1,f(1))處的切線方程為

求（1）實數(shù)a,b的值；

（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間[0,3]上的最值.

Answer 1

【答案】(1)a=b=4(2)4，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線方程求出切線的斜率，可得到切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)值與斜率關(guān)系，即可列方程求出的值；（2）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值，比較極值與區(qū)間端點值的函數(shù)值可求解閉區(qū)間的函數(shù)的最值.

試題解析：（1）因為在點M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y﹣10=0，

所以切線斜率是k=﹣3

且9×1+3f（1）﹣10=0，

求得，即點又函數(shù)，則f′（x）=x2﹣a所以依題意得解得

（2）由（1）知

所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2

當f′（x）＞0x＞2或x＜﹣2；當f′（x）＜0﹣2＜x＜2

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，2），（2，+∞）

單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣2，2）又x∈[0，3]

所以當x變化時，f（x）和f′（x）變化情況如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		﹣	0	+	0
f（x）	4	↘	極小值	↗	1

所以當x∈[0，3]時，f（x）max=f（0）=4，