【題目】已知圓:(),定點,,其中為正實數(shù).
(1)當時,判斷直線與圓的位置關系;
(2)當時,若對于圓上任意一點均有成立(為坐標原點),求實數(shù)的值;
(3)當時,對于線段上的任意一點,若在圓上都存在不同的兩點,使得點是線段的中點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 相離. (2) ,.(3)
【解析】
(1)利用圓心到直線的距離和半徑的關系即可得到判斷;(2)利用兩點間的距離公式進行化簡整理,由點P的任意性即可得實數(shù)m,λ的值;(3)設出點P和點N的坐標,表示出中點M的坐標,M、N滿足圓C的方程,根據(jù)方程組有解說明兩圓有公共點,利用兩圓位置關系要求及點P滿足直線AB的方程,解出半徑的取值范圍.
解: (1) 當時,圓心為,半徑為,
當時,直線方程為,
所以,圓心到直線距離為,
因為,所以,直線與圓相離.
(2)設點,則,,
∵,∴,
,…………
由得,, ∴,
代入得, ,
化簡得,…………
因為為圓上任意一點
又,解得,.…………………
(3)法一:直線的方程為,設(),,
因為點是線段的中點,所以,
又都在圓:上,所以
即……………………
因為該關于的方程組有解,即以為圓心,為半徑的圓與以為圓心,為半徑的圓有公共點,
所以,,
又為線段上的任意一點,所以對所有成立.
而 在上的值域為,
所以所以.………
又線段與圓無公共點,所以,∴.
故實數(shù)的取值范圍為. ……………
法二:過圓心作直線的垂線,垂足為,設,,則則消去得, ,
直線方程為 點到直線的距離為
且又 為線段上的任意一點, …
,,
故實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,,.點是與的交點,點在線段上且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
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【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得萬元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓:的左右焦點為,,是橢圓上半部分的動點,連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于,兩點(點在的上方或重合).
(1)當面積最大時,求橢圓的方程;
(2)當時,若是線段的中點,求直線的方程;
(3)當時,在軸上是否存在點使得為定值,若存在,求點的坐標,若不存在,說明理由.
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【題目】把半橢圓()與圓弧()合成的曲線稱作“曲圓”,其中為的右焦點,如圖所示,、、、分別是“曲圓”與軸、軸的交點,已知,過點且傾斜角為的直線交“曲圓”于、兩點(在軸的上方).
(1)求半橢圓和圓弧的方程;
(2)當點、分別在第一、第三象限時,求△的周長的取值范圍;
(3)若射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交“曲圓”于點,請用表示、兩點的坐標,并求△的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:xy2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證:線段PQ的中點坐標為;
②求p的取值范圍.
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【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出(萬元)和銷售額(萬元)數(shù)據(jù)如下:
超市 | A | B | C | D | E | F | G |
廣告費支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
銷售額 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
(1)若用線性回歸模型擬合與的關系,求關于的線性回歸方程;
(2)用二次函數(shù)回歸模型擬合與的關系,可得回歸方程:,
經(jīng)計算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的分別約為和,請用說明選擇哪個回歸模型更合適,并用此模型預測超市廣告費支出為3萬元時的銷售額.
參數(shù)數(shù)據(jù)及公式:,,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第個家庭的月收入(單位:千元)與月儲蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,計算得,,,.
(1)求家庭的月儲蓄關于月收入的線性回歸方程,并判斷變量與之間是正相關還是負相關;
(2)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.(注:線性回歸方程中,,其中,為樣本平均值.)
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