【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)為,,是橢圓上半部分的動點(diǎn),連接和長軸的左右兩個端點(diǎn)所得兩直線交正半軸于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在的上方或重合).
(1)當(dāng)面積最大時,求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時,若是線段的中點(diǎn),求直線的方程;
(3)當(dāng)時,在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,點(diǎn),使得為定值.
【解析】
(1)由題意可得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時,面積最大,借助基本不等式即可求出b的值,可得橢圓方程;
(2)設(shè)出點(diǎn),則:,:,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)B是線段的中點(diǎn),用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程,可得M點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的方程;
(3)設(shè),,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出
解:(1)由已知:
,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立;
則:,
此時橢圓方程為:;
(2)點(diǎn)在軸或其左側(cè),則圖形如本題圖,設(shè),那么:
:,:,
令
得:,,
是線段的中點(diǎn),
則:,
解得:,則,
則::,即:;
(3):,設(shè),,
若點(diǎn)在軸左側(cè),則同上,,
,,
,
此時,,;
綜上,故存在點(diǎn)使得為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年9月24日,阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想,這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動,在1859年,德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題,并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論(素數(shù)即質(zhì)數(shù),).根據(jù)歐拉得出的結(jié)論,如下流程圖中若輸入的值為,則輸出的值應(yīng)屬于區(qū)間( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A、B,上頂點(diǎn)為D(0,1),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)E是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn),直線AE、BE與直線分別交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的長度最小時,橢圓C上是否存在點(diǎn)T使的面積為?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若數(shù)列滿足(),且,求證:是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時,數(shù)列具有如下性質(zhì):對于任意的(),都存在,使得,寫出你的探究過程,并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量,,其中,則下列判斷錯誤的是( )
A.向量與軸正方向的夾角為定值(與、之值無關(guān))
B.的最大值為
C.與夾角的最大值為
D.的最大值為l
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:毫克),質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表,如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品質(zhì)量/毫克 | 頻數(shù) |
(Ⅰ)以樣本的頻率作為概率,試估計(jì)從甲流水線上任取件產(chǎn)品,求其中不合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
甲流水線 | 乙流水線 | 總計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計(jì) |
(Ⅱ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)?
(Ⅲ)由乙流水線的頻率分布直方圖可以認(rèn)為乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布,求質(zhì)量落在上的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
參考公式:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:(),定點(diǎn),,其中為正實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時,判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(2)當(dāng)時,若對于圓上任意一點(diǎn)均有成立(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的值;
(3)當(dāng)時,對于線段上的任意一點(diǎn),若在圓上都存在不同的兩點(diǎn),使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|,z的實(shí)部大于0,z2的虛部為2.
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z,z2,z﹣z2之在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,求()的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績,被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,,第二組,,第八組,,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
(1)求第七組的頻率,并完成頻率分布直方圖;
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);
(3)若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對值小于10分的概率.
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