Question

6．在△ABC中，已知|AB|=4$\sqrt{2}$，且三個內(nèi)角A，B，C滿足2sinA+sinC=2sinB，建立直角坐標(biāo)系，求頂點C的軌跡方程．

Answer 1

分析 以AB的中點為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，利用正弦定理得：2a+c=2b，可得C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線的右支，即可求頂點C的軌跡方程．

解答 解：以AB的中點為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．
因為2sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得：2a+c=2b，
又c=|AB|=4$\sqrt{2}$，所以b-a=$\frac{1}{2}$c=2$\sqrt{2}$，即|CA|-|CB|=2$\sqrt{2}$，
所以C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線的右支，
則2a′=|CA|-|CB|=2$\sqrt{2}$，2c′=|AB|=4$\sqrt{2}$
所以a^′2=2，c^′2=8，b^′2=c^′2-a^′2=6，
所以C點軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$（x＞0）．

點評 本題考查雙曲線的定義與方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．