Question

3．若在△ABC中，$\frac{b+a}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，且cos2C+cosC=1-cos（A-B），則△ABC的形狀為直角三角形．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的余弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)：cos2C+cosC=1-cos（A-B），利用正弦定理?yè)Q成邊的關(guān)系，利用正弦定理把$\frac{b+a}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}$轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，聯(lián)立方程后即可判斷出三角形的形狀．

解答 解：由題意得，cos2C+cosC=1-cos（A-B），
則cosC+cos（A-B）=1-cos2C，
因?yàn)锳+B+C=π，所以cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
則sinAsinB=sin²C，根據(jù)正弦定理，ab=c²，①，
因?yàn)?\frac{b+a}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}$，所以由正弦定理得$\frac{b+a}{a}=\frac{b-a}$，
化簡(jiǎn)可得，b²-a²=ab，②，
由①②得，b²-a²=c²，則b²=a²+c²，
所以B=90°，則△ABC是直角三角形，
故答案為：直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的余弦公式、二倍角公式，以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的形狀的判斷，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．