Question

求值：
（1）0.027-

1

3

-（-

1

7

）-2+256

3

4

-3^-1+（

2

-1）⁰
（2）已知cos（

π

4

+x）=

3

5

，

17π

12

＜x＜

7π

4

，求

sin2x+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對給出的關(guān)系式化簡即可；
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡得：

sin2x+2sin2x

1-tanx

=sin2x•tan（

π

4

+x），依題意，分別求得sin2x與tan（

π

4

+x）的值，即可求得答案．

解答： 解：（1）0.027-

1

3

-(-

1

7

)-2+256

3

4

-3-1+(

2

-1)0=(

1000

27

)

1

3

-(-7)2+(28)

3

4

-

1

3

+1
=(

103

33

)

1

3

-49+26-

1

3

+1=

10

3

-49+64-

1

3

+1=19．

（2）

sin2x+2sin2x

1-tanx

=

2sinxcosx+2sin2x

1- sinx cosx

=

2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

=

sin2x(1+tanx)

1-tanx

=sin2x•tan（

π

4

+x）．
∵

17π

12

＜x＜

7π

4

，∴

5π

3

＜x+

π

4

＜2π，又∵cos（

π

4

+x）=

3

5

，∴sin（

π

4

+x）=-

4

5

．
∴tan（

π

4

+x）=-

4

3

．
∴cosx=cos[（

π

4

+x）-

π

4

]=cos（

π

4

+x）cos

π

4

+sin（

π

4

+x）sin

π

4

=

2

2

×（

3

5

-

4

5

）=-

2

10

．
∴sinx=sin[（

π

4

+x）-

π

4

]=sin（

π

4

+x）cos

π

4

-sin

π

4

cos（

π

4

+x）=-

7 2

10

，
sin2x=

7

25

．∴

sin2x+2sin2x

1-tanx

=-

28

75

．

點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查運算求解能力，屬于中檔題．