Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=28，a₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{_{n}（{n}^{2}+n）}$，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q不為1），運用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程組，可得首項、公比，即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：分組求和及裂項相消求和，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q不為1），
由$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=28，a₃=9，
可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$•$\frac{1-q}{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}$=28，a₁q²=9，
解得a₁=1，q=3，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
（2）$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{_{n}（{n}^{2}+n）}$，可得
b_n=$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}（{n}^{2}+n）}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n-1}（{n}^{2}+n）}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n=（1+3+3²+…+3^n-1）+3（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+3（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+$\frac{3n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和及裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．