Question

7．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線分別為l₁，l₂，直線l：y=-x+c過雙曲線C的右焦點F（c，0），且分別與直線l₁，l₂交于A，B兩點，若$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的漸近線方程，將A和B代入，求得A和B的橫坐標，由$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，$\frac{ac}{a-b}$-c=2丨$\frac{ac}{a+b}$-c丨，化簡求得a和b的關(guān)系，由雙曲線的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+丨\frac{a}{丨}^{2}}$，即可求得e．

解答 解：由題意，設(shè)雙曲線C的漸近線方程l₁，l₂分別為：y=$\frac{a}$x，y=-$\frac{a}$x，點A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
A和B分別滿足$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{ac}{a+b}$，x₂=$\frac{ac}{a-b}$，
∵$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{ac}{a-b}$-c=2丨$\frac{ac}{a+b}$-c丨，
化簡得：b=3a，
故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+丨\frac{a}{丨}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線的方程的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．