Question

20．若函數(shù)f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，且0≤n-2m＜1，則n的取值范圍是[-3，9-$4\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）在[-1，1]上存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f（-1）f（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4n≥0}\\{-1≤\frac{m}{2}≤1}\\{f（-1）≥0，f（1）≥0}\end{array}\right.$，整理后結(jié)合0≤n-2m＜1作出可行域，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由題意，f（-1）f（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4n≥0}\\{-1≤\frac{m}{2}≤1}\\{f（-1）≥0，f（1）≥0}\end{array}\right.$．
即（n-m+1）（m+n+1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4n≥0}\\{-2≤m≤2}\\{n-m+1≥0}\\{m+n+1≥0}\end{array}\right.$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{n-2m=1}\\{n-m+1=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{n-2m=1}\\{{m}^{2}=4n}\\{m＜0}\end{array}\right.$，解得B（9-4$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$），
作出可行域OCAB，
由圖可知，n的取值范圍是[-3，9-$4\sqrt{5}$]．
故答案為：[-3，9-$4\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．