Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a_n，T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求證：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₁=3，a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，利用錯(cuò)位相減法能證明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

解答 （本題滿分12分）
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，2S₁+3=3a₁，∴a₁=3．（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n+3=3a_n，2S_n-1+3=3a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1，（3分）
∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 （5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3ⁿ．（6分）
（2）證明：由（1）得$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，（7分）
∴T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}$+…+（n-1）×（$\frac{1}{3}$）^n-1+n×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，①（8分）
∴$\frac{1}{3}$T_n=$（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}+…+$$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}+n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，②（9分）
由①-②得
$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，（11分）
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×3n}$＜$\frac{3}{4}$．
∴${T_n}＜\frac{3}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．