Question

12．已知sin（α-π）=$\sqrt{3}$cos（2π-α），且cosα＞sinα．
（1）利用三角函數(shù)的定義求sinα，cosα的值．
（2）若α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），令f（x）=tan（x+α），試求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）先判斷出α為第四象限的角，由任意角的三角函數(shù)的定義，即可得到正弦、余弦．
（2）根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)忙，即可求出單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）sin（α-π）=-sinα=$\sqrt{3}$cos（2π-α）=$\sqrt{3}$cosα，
∴tanα=-$\sqrt{3}$，
又cosα＞sinα，
∴α為第四象限的角，
∴α=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈z
在α的終邊上取一點P（1，-$\sqrt{3}$），
則x=1，y=-$\sqrt{3}$，r=2，
∴sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα=$\frac{1}{2}$
（2）∵α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴α=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=tan（x-$\frac{π}{3}$），
∴-$\frac{π}{2}$+kπ＜x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ＜x＜$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）在[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞增，
∴f（$\frac{π}{6}$）≤f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$），
∵f（$\frac{π}{6}$）=tan（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
f（$\frac{2π}{3}$）=tan（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查任意角三角函數(shù)的定義，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．