Question

13．在正四面體ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是棱CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線MN與BD所成的角為α，則cosα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 首先①當(dāng)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，線段MN與BD所成的角最大，進(jìn)一步利用解三角形知識(shí)利用余弦定理求出角的余弦值．
②當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，線段MN與BD所成的角最小，直接在△MBD中，線段MD與BD所成角為30°，求出夾角的余弦值．最后求出角的余弦值的范圍．

解答 解：在正四面體ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是棱CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則：①當(dāng)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，線段MN與BD所成的角最大，
設(shè)：正四面體的邊長(zhǎng)為2，
取AD的中點(diǎn)，連接MN、NG，
利用勾股定理得：CM=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
M、G是AB和AD的中點(diǎn)，所以：MG=1，
同理解得：CG=$\sqrt{3}$，
在△CMG中，利用余弦定理得：$cosα=\frac{3+1-3}{2•\sqrt{3}•1}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即：所成角的余弦值最小為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
②當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，線段MN與BD所成的角最小，
連接DM，在△MBD中，線段MD與BD所成角為30°，
所以：cos$α=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所成角的余弦值最大為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以：cosα的范圍為：[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：異面直線的夾角的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力和空間想象能力．