11．求證：在半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，它的面積等于2R2？

分析 設(shè)內(nèi)接矩形的長和寬為x和y，圓的半徑為R，根據(jù)圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)可知矩形的對角線為圓的直徑，利用勾股定理求得x2+y2的值，進(jìn)而利用重要不等式求得xy的范圍及矩形面積的范圍求得答案．

解答 證明：設(shè)內(nèi)接矩形的長和寬為x和y，圓的半徑為R，
根據(jù)圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)可知矩形的對角線為圓的直徑2R，
故x2+y2=4R2，
∴x2+y2≥2xy（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立）
∴xy≤2R2，
即矩形的面積最大時，為邊長是$\sqrt{2}$R的正方形，它的面積等于2R2．

點評 本題主要考查了圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)和判定．考查了基本不等式的靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．已知正實數(shù)x，y滿足x+y=2，則x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$的最小值為2．

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2．命題“?x＞0，x2-x≤0”的否定是?x＞0，x2-x＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導(dǎo)且關(guān)于x=1對稱，當(dāng)x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，設(shè)a=f（0），b=f（-3），c=f（3），則（　　）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a

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6．證明關(guān)于函數(shù)y=[x]的如下不等式：
（1）當(dāng)x＞0時，1-x＜x[$\frac{1}{x}$]≤1；
（2）當(dāng)x＜0時，1≤x[$\frac{1}{x}$]＜1-x．

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16．如圖所示，設(shè)小矩形的長、寬各為a，b，現(xiàn)把四個同樣的矩形拼接成正方形后，分析其中陰影部分矩形面積之和與正方形面積之間的關(guān)系，并用不等式表達(dá)出來．

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3．已知正實數(shù)a，b滿足：a+b=1，則$\frac{3a}{{a}^{2}+b}$+$\frac{2b}{a+^{2}}$的最大值是（　�。�
A．3B．$\frac{10}{3}$C．$\sqrt{10}$D．$\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$

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20．已數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=（1+2|cos$\frac{nπ}{2}$|）an+|sin$\frac{nπ}{2}$|，n∈N*．
（1）證明：數(shù)列：{a2k}{k∈N*}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）bn=$\frac{1}{{a}_{2n}}$+（-1）n-1•（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{a}_{2n-1}}$，求{bn}的前n項和為Sn．

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13．設(shè)拋物線C1：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點F1，焦點為F2，橢圓C2以F1，F(xiàn)2為焦點且橢圓C2上的點到F1的距離的最大值為3．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點F2，與拋物線C1交于A1、A2兩點，與橢圓C2交于B1、B2兩點，當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時，求|A1A2|的長；
（3）若M是橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作⊙M是否存在定圓⊙N，使得⊙M與⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，請說明理由．

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