Question

20．已數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=（1+2|cos$\frac{nπ}{2}$|）a_n+|sin$\frac{nπ}{2}$|，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列：{a_2k}{k∈N^*}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）b_n=$\frac{1}{{a}_{2n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{a}_{2n-1}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）求得a₃，a₄，當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）由題意可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（3）求得b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）ⁿ=（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）ⁿ．運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由題意可得a₃=（1+2×0）a₁+1=2；
a₄=（1+2×1）a₂=3×3=9；…
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，
則數(shù)列{a_2k}{k∈N^*）是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；
（2）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=（1+2|cos（kπ-$\frac{π}{2}$）|）a_2k-1+|sin（kπ-$\frac{π}{2}$）|=a_2k-1+1，
即有數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；
由（1）可得數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\\{{3}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）b_n=$\frac{1}{{a}_{2n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{a}_{2n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$+（-1）^n-1•（$\frac{1}{4}$）ⁿ
=（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（-$\frac{1}{4}$）ⁿ．
即有前n項(xiàng)和為S_n=（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-[（-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{（-4）^{n}}$]
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{（-\frac{1}{4}）[1-\frac{1}{（-4）^{n}}]}{1-（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{7}{10}$-$\frac{1}{2•{3}^{n}}$-$\frac{1}{5•（-4）^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查分類討論的思想方法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．