Question

某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品單價降低2元是，一星期多賣出24件，當定價為

 

元時，才能使一個星期的銷售利潤最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：設商品降價x元，根據(jù)每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比，求出比例系數(shù)，得到每星期多賣的商品數(shù)，再根據(jù)銷售利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關系式，根據(jù)f（x）的解析式，判斷出用導數(shù)求最值，即求出f'（x）=0的根，比較根的函數(shù)值與區(qū)間端點的函數(shù)值的大小，即可得到答案．

解答： 解：設商品降價x元，記商品在一個星期的獲利為f（x），
∵每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比，
∴每個星期多賣的商品數(shù)為kx²，
∵商品售價降低2元時，一星期多賣出24件，則24=k•2²，
∴k=6，
∴每個星期多賣的商品數(shù)為6x²，
∴f（x）=（30-x-9）（432+6x²）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，21]；
∴f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12），
令f'（x）=0，解得x=2或x=12，
∵f（0）=9072，f（2）=8664，f（12）=11664，f（21）=0，
∴當x=12時，f（x）取得最大值11664，
∴定價為18元才能使一個星期該商品的銷售利潤最大．
故答案為：18．

點評：本題主要考查了根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)、導數(shù)的知識解決實際問題的能力．利用導數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．屬于中檔題．