Question

1．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，半圓C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$
（1）求半圓C₁的參數(shù)方程；
（2）設(shè)動點A在半圓C₁上，動線段OA的中點M的軌跡為C₂，點D在C₂上，C₂在點D處的切線與直線$y=\sqrt{3}x+2$平行，求點D的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）首先把圓的極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程，進一步轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，注意參數(shù)的取值范圍．
（2）由中點坐標公式求得點M的坐標，易得曲線C₂的參數(shù)方程，結(jié)合切線與平行線的性質(zhì)來求得點D的坐標即可．

解答 解：（1）半圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$，
轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：x²+y²-4y=0（0≤x≤2）
再把半圓C₁化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$）；
（2）設(shè)M（x，y），由中點坐標公式，得：
x=$\frac{2cosα+0}{2}$=cosα，y=$\frac{2+2sinα+0}{2}$=1+sinα．
所以曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{3π}{2}$），
因為C₂在點D處的切線與直線$y=\sqrt{3}x+2$平行，則點D對應的參數(shù)α=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$．
由曲線C₂的參數(shù)方程得，x_D=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y_D=1+sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{3}{2}$．
故點D的直角坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化、普通方程與參數(shù)方程的互化，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．