3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n-1.
(I)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$,求{bn}的前n項和Tn

分析 (I)利用遞推公式即可得出;
(II)bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$,利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.

解答 解:(I)∵2Sn=3n-1.∴2a1=3-1,解得a1=1.
當(dāng)n≥2時,2Sn-1=3n-1-1,∴2an=2•3n-1,可得an=3n-1
(II)bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$,
∴{bn}的前n項和Tn=0+$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$,
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=0+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$,
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n}}$,
∴Tn=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{4×{3}^{n-1}}$.

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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