Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知2S_n=3ⁿ-1．
（I）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=3ⁿ-1．∴2a₁=3-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=3^n-1-1，∴2a_n=2•3^n-1，可得a_n=3^n-1．
（II）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴{b_n}的前n項和T_n=0+$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=0+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{4×{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．